Polígono sobre plano, en diédrico

Situar un polígono en cualquier tipo de plano, en el sistema diédrico, puede ser sencillo dependiendo de la posición del plano considerado. Si lo vamos a situar en un plano de proyección o en alguno paralelo al mismo, el problema se reduce a dibujar el polígono de forma directa, pues se verá con su verdadera forma y magnitud. Si por el contrario estamos ante un plano oblicuo, simplificamos el problema abatiéndolo sobre uno de los planos de proyección. Esto no quiere decir que no sea una tarea laboriosa, pues a mayor cantidad de vértices, más trazados. De nuevo se puede simplificar el problema, buscando paralelismo de lados a la traza charnela, o mejor aún, haciendo coincidir con ella un lado.

En el ejemplo ponemos un pentágono regular, pues suele ser el polígono preferido de los profesores.

PASOS

1º Suponemos el polígono en un plano de proyección (en el caso dado, en el horizontal), donde se dibuja en verdadera forma y magnitud (consideramos que está abatida sobre el plano horizontal de proyección).

2º Se abate la traza vertical del plano. Para ello se elige un punto M de ella (las rectas horizontales son las más prácticas para abatir sobre el plano horizontal de proyección y para desabatir).

3º Se comienza el desabatimiento de cada vértice de la figura, pasado rectas horizontales que luego se desabaten.

4º Una vez halladas las proyecciones horizontal y vertical de cada uno de los puntos vértice (en su correspondiente recta desabatida), se dibujan las formas poligonales de cada proyección (vistas en planta y alzado).

NOTA: Puedes variar la forma y posición del pentágono OBSERVACIÓN: La figura en el plano horizontal de proyección, en supuesto abatimiento, es afín de la proyección horizontal de dicha figura, en una afinidad ortogonal. La traza charnela es el eje de afinidad, por eso al prolongar los lados afines se cortan en ella (puntos dobles). La dirección es de perpendicularidad pues es el ángulo que tenemos al girar sobre la charnela, tanto para abatir como para desabatir.

En el caso de abatimiento sobre plano vertical, entonces la afinidad ortogonal se forma entre el polígono abatido con la proyección vertical del mismo.

Polígono regular de n lados: construcción

Cualquier polígono regular es inscriptible en una circunferencia y esta se puede dividir en partes iguales, tantas como vértices el polígono, por eso el método general siempre relaciona circunferencia y vértices o Radio y lado.
Si necesitamos construir un polígono regular de cierto nº de lados resolvemos como en el problema división de circunferencia en partes iguales. En una circunferencia cualquiera se hallan los vértices del polígono inscrito.

 

Pero si además necesitamos concretar una medida de lado, entonces a esa parte añadiremos lo siguiente.

Se medirá sobre una recta lado (en el ejemplo: AB) y se trazará paralela a Radio por vértice del extremo izquierdo, al cortar el Radio por el extremo derecho (o su prolongación) obtenemos la medida de radio de circunferencia que tendrá inscrito el polígono deseado, con la longitud de lado deseada. Los polígonos dado y solución son homotéticos (lados paralelos y proporcionales, vértices alineados con Centro de homotecia), al igual que las circunferencias que los circunscriben, y el centro de homotecia es el centro de las circunferencias.
Otro método de construcción: a partir de la medida del lado se averigua la medida del radio.

Circunferencia: división en partes iguales

Dividir una circunferencia en partes iguales se puede analizar de forma particular para cada caso o con un método general para n divisiones. Este problema está directamente relacionado con inscribir un polígono regular en ella al tratarse de distancias iguales, entonces, cada punto señalado sería un vértice del polígono.
Ejemplos de casos particulares
La división más sencilla, es la que produce un diámetro, pues al trazarlo tendremos la semicircunferencia. Con dos diámetros perpendiculares tendremos 4 partes iguales. Con el radio, siempre podremos dividir en 6 partes equidistantes pues será justamente el radio = al lado del hexágono regular inscrito. Esto también permite dividir en 3 partes iguales la circunferencia.

Si deseamos seguir un método general (que hay varios), para dividir en cualquier cantidad de partes iguales la circunferencia, podemos utilizar el siguiente.
Método general con punto exterior

1º Hallamos un punto P exterior (si se desea, también el simétrico, pues un P resuelve la mitad de la circunferencia).

2º División del diámetro de la circunferencia en tantas partes como queramos hacer en la circunferencia, aplicando el teorema de Tales. Solamente necesitamos los puntos pares del diámetro (o los impares, pero no todos), por eso podemos ahorrar líneas trazando únicamente las paralelas necesarias.

3º Se trazan rectas desde P por los puntos pares del diámetro. Las intersecciones con la circunferencia (al otro lado del diámetro) nos dan divisiones en la misma. Para hallar lo correspondiente en la otra semicircunferencia se aplica simetría (central o bilateral).

NOTA: Se puede inscribir polígono regular con nº de vértices = nº de divisiones en la circunferencia.

Circunferencia en perspectiva isométrica: ¿óvalo o elipse?

La circunferencia en perspectiva isométrica, al presentarse en posición oblicua respecto del observador, se visualizará como una elipse y el método de los 8 puntos es el utilizado habitualmente para trasladarla desde la vista diédrica al plano isométrico.

Sin embargo, las dificultades de trazado (necesitando plantillas de curvas) unido a la poca diferencia de la forma elíptica con un óvalo, en este tipo de perspectiva, convence a la mayoría de los dibujantes de la conveniencia de sustituir la forma elipse por un óvalo que dada su aplicación recibe el nombre de óvalo isométrico.

Te presentamos la forma de trazar, en el plano xy, el óvalo isométrico y cuál es la diferencia con la elipse que sustituye. Fíjate especialmente en los puntos de las diagonales.

Circunferencia en perspectiva: método de los 8 puntos

El método de los 8 puntos consiste en seleccionar 8 puntos claves de la circunferencia para situarlos en perspectiva y así poder trazar su deformación elíptica, cuando está dispuesta en plano oblicuo respecto del espectador.

Estos puntos son los que la relacionan con el cuadrado que la circunscribe y son de 2 clases: Los 4 puntos de tangencia y los puntos intersección con las diagonales del cuadrado.

Entendemos que partimos de la vista diédrica y trasladamos la información al plano determinado por el par de ejes considerados en la perspectiva (de cualquier tipo).

Un cuadrado es sencillo de dibujar en perspectiva, así como sus diagonales y mediatrices, con lo cual, es fácil ubicar los 8 puntos, lo que no es tan sencillo es trazar la elipse correspondiente en el dibujo tradicional, pues deberemos ayudarnos de plantillas de curvas. En estos casos es cuando más se aprecian los programas de dibujo con ordenador. Recordamos, sin embargo, que cuando se dibuja en perspectiva isométrica, se suele sustituir la elipse por el óvalo isométrico y así poder utilizar el instrumento de precisión que es el compás (aunque la curva sea menos exacta que la elipse correspondiente).

Ejemplo de circunferencia en perspectiva caballera, en el plano xy, considerando la reducción Cy= 1/2. El trazado debe seguir el paralelismo de los ejes para los lados del cuadrado. Las diagonales determinan el centro y a partir de este se sitúan los ejes de la circunferencia y por tanto los puntos de tangencia.

Circunferencias de =R inscritas en polígono regular

Tomamos tantas circunferencias como lados el polígono. El caso más sencillo es 3 circunferencias de =Radio inscritas en un triángulo equilátero. Sirve como ejemplo, pues todos los casos se podrán resolver con pasos similares.

Tenemos dos supuestos: que las circunferencias toquen un solo lado o que toquen dos lados. La ocupación espacial será diferente y por tanto el tamaño de la circunferencia será mayor en el 2º caso, pues podrá ajustarse más al espacio físico dentro del polígono.

Los pasos son:

1º Mediante mediatrices o bisectrices, dividir el polígono en tantos espacios poligonales de igual forma y tamaño, como nº de circunferencias a dibujar.

2º Trazar bisectrices de los ángulos del polígono determinado en el paso anterior para obtener el centro de la 1ª circunferencia.

3º Desde el centro, trazar perpendicular a un lado, para determinar su Radio.

4º Dibujar circunferencia. Para las restantes, repetir proceso o, mejor aún, aplicar simetría.

Observaciones:

Un problema de tangencias nunca está terminado de resolver sino se determinan todos los puntos de contacto, para ello se deben trazar las líneas que cumplen la propiedad en cada caso, es decir R perpendicular a recta tangente, Línea de Centros entre circunferencias tangentes.

En el triángulo equilátero coinciden las rectas notables mediatriz-bisectriz así como en los polígonos regulares impares. En los polígonos pares se distinguen. Si se desea hacer la partición en espacios para un lado tangente, se trazan las bisectrices. Si se desea organizar espacios para tangencia a 2 lados, se hallan las mediatrices.

Espiral irregular de 4 centros

Partiendo de un polígono de 4 lados irregular, la espiral también resulta irregular

Espiral regular de 3 centros

Si el núcleo de la espiral es un triángulo el aumento de radios de las circunferencias sucesivas añadirá la longitud del lado correspondiente, en cada ocasión. Si el triángulo es equilátero, los centros equidistarán y el aumento de radio paulatino será siempre constante. Esto dará una regularidad formal a la espiral que se perdería en el caso contrario.

NOTA: Puedes variar la distancia de centros y por tanto, tamaño de triángulo equilátero.

Las espirales tienen amplia aplicación en el diseño y uno de los juegos formales más habituales es el de combinar varias espirales a partir de un mismo núcleo, como en este ejemplo.

Para trazarlas se repite proceso iniciando en cada vértice la curva.

Óvalo clásico, conocido eje mayor

El óvalo es una curva plana de enlace tangencial, cerrada, conformada por 4 arcos de circunferencia, simétricos dos a dos. El óvalo clásico -óvalo tondo, muy utilizado como formato de pinturas en el Renacimiento- tiene distribuidos los centros del diámetro mayor a distancia el radio, por lo que su trazado se inicia con la división del diámetro mayor en 3 partes iguales (aplicando Teorema de Tales), siendo los puntos Q1 y Q2 los primeros centros de circunferencia y el R= distancia Q1-Q2. Una vez dibujadas estas, la intersección (pues son secantes) determina los otros dos centros de circunferencia Q3 y Q4. Las 4 líneas de centros se trazan uniendo estos centros con los de posición Q1 y Q2. Después se trazan los arcos con cada centro, para encontrarse en los puntos T de las líneas de centro.

Espiral de 2 centros

La espiral es una curva plana, abierta, que se origina en un núcleo para ir ampliándose paulatinamente y alrededor del mismo. Si el núcleo o base es regular, la espiral generada tendrá aspecto redondeado dando sensación de cierta deformación en caso de que no lo sea. La espiral más sencilla de trazar es aquella de línea tangencial a partir de dos puntos (un segmento) que serán los centros alternados de las circunferencias tangentes. La espiral se divide en dos trozos de los cuales se dibujará una parte de cada uno en cada paso de construcción, como arco de circunferencia (en este caso = a la semicircunferencia).

NOTA: puedes variar la distancia entre centros.

Enlace entre circunferencias

Las líneas de enlace tangencial son líneas mixtas, donde los distintos tramos de líneas curvas -que se pueden alternar con rectas- se unen en los puntos de tangencia. Los enlaces más sencillos se conforman a partir de circunferencias y rectas. 

Cuando se hace entre circunferencias hay dos opciones, tangencia interior y tangencia exterior, para el dibujado. En cualquier caso, se aplicará la propiedad de tangencia entre circunferencias: el punto T de Tangencia está en la Línea de Centros LC.
Puedes variar el tipo de tangencia cambiando la posición del centro de la circunferencia

Ejemplo de enlace entre circunferencias
NOTA: Mueve los puntos T o los centros y observa variación de la línea.

 Las líneas de enlace entre circunferencias tienen una amplia aplicación en el diseño y son la base del trazado de las curvas de enlace tangencial (ovoides, óvalos, espirales)

Enlace recta-circunferencia

La línea de enlace tangencial es una línea mixta en la que al menos dos tipos de línea distinta se unen con el punto de tangencia. Para que sea posible la unión al menos uno de los trozos de línea a unir debe ser una curva. La línea de enlace tangencial más sencilla de trazar es la que combina tramos rectos y tramos arcos de circunferencia. Una vez determinado el punto T donde se desea hacer la unión, se aplica la propiedad de tangencia que se cumple para recta y circunferencia tangentes entre sí: En el punto T, el Radio de la circunferencia forma un ángulo de 90º con la recta tangente.

Ejemplo de enlace entre dos rectas paralelas y dos curvas

Ovoide alargado

El ovoide es una curva de enlace tangencial configurada por tangencia interior entre circunferencias, por lo tanto, la distancia entre centros será la diferencia de los radios.
El ovoide más clásico es aquél que tiene los centros de sus circunferencias en la circunferencia principal o inicial, es decir aquella en que su diámetro es igual al menor del ovoide.
Si quieres ver su construcción pincha aquí.

Sin embargo, esta circunstancia no deja de ser especial o extraordinaria, ya que los ovoides pueden variar su forma al igual que lo hacen sus "dobles" volumétricos en la naturaleza, pues los huevos de aves o de reptiles son muy variados dependiendo de la especie.

NOTA: mueve los centros Q2 y Q1 para observar diferentes posibilidades, también puedes variar R1

Óvalo, conocido el diámetro menor

El óvalo es una curva de enlace tangencial y se resuelve con 4 arcos de circunferencia. Tiene dos ejes de simetría y dos diámetros o dimensiones máximas. Si tenemos como dato el diámetro menor y conocemos el método de construcción de un ovoide a partir de su diámetro menor, es muy sencillo construirlo.

1º Se dibujan dos ejes perpendiculares, en la intersección se sitúa el centro de la circunferencia de la 1ª circunferencia con diámetro el menor del óvalo. La intersección de la circunferencia con los ejes nos da los centros de las 4 circunferencias necesarias. Las rectas que pasan por los centros situados en distinto eje, determinan las Líneas de Centros.

2º Se trazan las circunferencias (o sólo los arcos del óvalo)

La 1ª circunferencia de Radio igual al diámetro inicial.

La 2ª simétrica de la anterior.

La 3ª y la 4ª simétrica enlaza las anteriores cerrando la curva.

En el dibujo se parte de la construcción del ovoide y después se aprovecha la simetría.

Ovoide, conocido el diámetro menor

El ovoide es una curva de enlace tangencial y se traza uniendo arcos de circunferencia. Tiene forma de contorno de huevo, en su posición más característica, por ello su nombre es fácil de recordar. Tiene un eje de simetría y dos dimensiones máximas: el diámetro mayor y el menor.

Si conocemos la circunferencia cuyo diámetro es el menor del ovoide, es sencilla su construcción.

1º Se dibuja el eje y sobre él se sitúa el centro de la circunferencia (o a la inversa).

2º La perpendicular al eje, en el centro, nos determina la 1ª Línea de Centros LC1 y el primer punto de tangencia T1.

3º La recta que pasa por el extremo del diámetro y el punto intersección de la Circunferencia con el eje de simetría, es la 2ª Línea de Centros LC2. La recta simétrica sería la 3ª Línea de Centros.

4º Las circunferencias necesarias son 4:

La 1ª es la inicial

La 2ª, R= el diámetro de la inicial y centro el extremo del diámetro menor del ovoide.

La 3ª es simétrica de la anterior.

La 4ª tiene centro en la intersección de la circunferencia inicial con el eje de simetría y el Radio lo determina el punto de Tangencia en la LC2.

5º Los arcos abarcan hasta los puntos de tangencia correspondientes.

Circunferencia tangente a circunferencia

La relación de tangencia entre dos circunferencias puede ser de dos tipos: tangente exterior o tangente interior, en este último caso una de las circunferencias tiene a la otra interior "la abraza". Cuando las circunferencias son tangentes se tocan en un punto y este es común a ambas (también se puede considerar como un corte donde los dos puntos de intersección coinciden en uno sólo, es decir, punto doble). Siempre se cumple la siguiente propiedad: el punto de T Tangencia está en la Línea de Centros LC que trazan los centros de las consideradas. Si la tangencia es interior, el punto T quedará a un lado de ambos centros y si la tangencia es exterior, quedará entre los centros.

NOTA: mueve Q2 para observar tangencia exterior o interior

Homología condicionada del cuadrilátero

Si a partir de un cuadrilátero cualquiera pretendemos obtener figuras homólogas más regulares habrá que tener en cuenta varios pasos:

1º Necesitamos eje y RL, el vértice lo hallaremos según la solución que deseemos obtener.

2º Si algún par de lados será paralelo, lo dibujaremos convergente en la RL.

3º Dependiendo de los ángulos que pretendamos, dibujaremos los arcos capaces en RL (correspondientes a los lados que los determinarán).

4º Resolveremos.

Si lo que pretendemos es un simple paralelogramo, es suficiente con llegar al paso 2º de los descritos arriba. 
Si lo que necesitamos es un rectángulo, en el paso 3º tendremos en cuenta el ángulo de 90º, cualquier punto en este único arco capaz nos lo facilitará, excepto el caso en que se cumplan además las diagonales a 90º (otro arco capaz cortando al anterior lo sitúa), pues obtendremos un cuadrado.

Para romboides y rombos, se procede de similar manera.

Cuando trabajemos con la circunferencia o con otras curvas, las podremos relacionar con cuadrado y cuadrículas que luego serán útiles para el trazado.

Figura homóloga condicionada

En homología, manejando la recta límite y la posición del centro de homología (vértice de radiación) es posible predeterminar el tipo de 2ª figura que deseamos conseguir a partir de la previa. Tenemos que tener en cuenta que la 1ª figura tendrá inicialmente el mismo nº de lados si es poligonal.

Relaciones a tener en cuenta:

1ª Las rectas convergentes en RL forman homólogas paralelas.

2ª El vector posición de V con respecto de la intersección de la recta con RL, determina la dirección de la homóloga, si queremos determinar el ángulo entre dos homólogas, hay que forzarlo en las direcciones con V previas.

3ª El ángulo que determina un punto respecto de un segmento se puede concretar como el inscrito del arco capaz.

4ª Si se sitúa un vértice en la RL (o más), en la homóloga será impropio por lo que producirá una figura abierta.

5ª Si la figura se sitúa secante por RL, la figura homóloga se formará cortada (unión en puntos impropios).

Por lo tanto, si deseamos trazar un triángulo homólogo concreto, debemos partir de forma triangular (teniendo en cuenta su relación con RL), predeterminar la posición de V con los ángulos que queramos obtener, dibujando los arcos capaces de dos de los ángulos sobre la RL (entre las rectas en que sus homólogas deban darlos). La intersección de los arcos es V.

NOTA: Hay que asegurarse de seleccionar bien el ángulo del vértice triangular.

En el caso de un cuadrilátero, si se desean lados paralelos, las rectas lado opuestas deberán converger en la RL.

En el caso de circunferencia (que habrá que inscribir en cuadrilátero), si está separada de RL conseguiremos homóloga circunferencia o elipse. Si está tangente a RL se obtendrá la parábola. Y si es secante a RL, la hipérbola.